Теория игр

Представьте, что вы стоите в очереди за билетами на премьеру долгожданного фильма. Впереди вас — человек двадцать, а касса вот-вот закроется. Внезапно вы замечаете, что открылась вторая касса, и перед ней никого нет. Что делать? Бежать туда первым? Но если все остальные подумают так же, там мгновенно образуется толпа, и вы потеряете своё место в первой очереди. Остаться? Но тогда кто-то более решительный займёт выгодную позицию.

В этот момент вы, сами того не осознавая, решаете задачу из области теории игр. Вы пытаетесь предугадать действия других людей и выбрать наилучшую стратегию с учётом их возможных решений. И точно такие же задачи — от выбора очереди до международной политики — математики научились решать с помощью строгих формул и доказательств.

Рождение теории игр

История теории игр неразрывно связана с именем Джона фон Неймана. Он внёс фундаментальный вклад в математику, физику и вычислительную технику, а в 1920-х годах занялся строгим математическим описанием стратегических игр.

Одним из важных источников идей для фон Неймана были карточные игры. В отличие от шахмат, в них информация скрыта: игроку приходится учитывать не только свои карты, но и возможные действия соперника. Иногда выгодно даже блефовать — намеренно создавать у противника неверное представление о своей позиции.

В 1928 году фон Нейман доказал теорему о минимаксе. Точная формулировка требует оговорки: в конечной игре двух игроков с нулевой суммой, если разрешены смешанные стратегии, максимальный гарантированный выигрыш одного игрока совпадает с минимальным гарантированным проигрышем другого. Поэтому у каждого участника есть стратегия, которая обеспечивает ему определённый результат независимо от выбора соперника.

Но настоящий прорыв произошёл в 1944 году, когда фон Нейман вместе с экономистом Оскаром Моргенштерном опубликовал монументальный труд «Теория игр и экономическое поведение». Эта книга объёмом более шестисот страниц заложила фундамент новой научной дисциплины. Авторы показали, что экономические процессы можно рассматривать как стратегические игры, где участники стремятся максимизировать свою выгоду.

Что двигало фон Нейманом? Он был убеждён, что социальные науки нуждаются в такой же строгой математической базе, как физика. Экономисты того времени часто полагались на интуицию и общие рассуждения. Фон Нейман предложил инструмент для точного анализа — и этот инструмент оказался применим далеко за пределами экономики.

Конкурс красоты Кейнса

Чтобы понять, насколько глубоко теория игр проникает в нашу жизнь, обратимся к знаменитому примеру британского экономиста Джона Мейнарда Кейнса.

В 1936 году он описал газетный конкурс, участники которого должны были выбрать шесть самых красивых лиц из сотни фотографий. Победителем становился тот, чей выбор совпадал с мнением большинства.

Казалось бы, задача проста: выбирай тех, кто нравится тебе. Но подождите. Если вы хотите выиграть, вам нужно выбрать не самых красивых по вашему мнению, а тех, кого выберет большинство. Значит, нужно думать не о своих предпочтениях, а о предпочтениях других. Но ведь другие тоже рациональны и тоже понимают эту логику. Значит, они тоже будут пытаться угадать мнение большинства. И вы должны угадать, что они подумают о мнении большинства…

Такой ряд рассуждений показывает главное: участник выбирает не то, что нравится лично ему, а то, что, по его мнению, выберут остальные. Поэтому результат конкурса отражает коллективные ожидания, а не какую-то «объективную» красоту.

Кейнс использовал этот пример для описания фондового рынка. Инвесторы покупают акции не потому, что верят в реальную стоимость компании, а потому, что ожидают роста цены — то есть предполагают, что другие инвесторы тоже захотят купить эти акции. Каждый пытается предугадать ожидания других, и реальная ценность актива отступает на второй план.

Такой механизм может усиливать экономические пузыри. Например, во время бума доткомов многие инвесторы покупали акции интернет-компаний в расчёте на дальнейший рост цен, даже когда прибыль и бизнес-модель компаний вызывали вопросы. Это не единственная причина пузыря, но хороший пример того, как ожидания действий других участников начинают влиять на решения сильнее, чем оценка самого актива.

Теория игр помогает описать эту механику: если участники ориентируются прежде всего на ожидания друг друга, небольшое изменение настроений способно вызвать цепную реакцию. Однако реальные рынки сложнее любой отдельной модели, поэтому теория игр объясняет лишь часть происходящего.

Игры с одновременными ходами

Теперь давайте разберёмся с базовыми понятиями теории игр. Представьте две кинокомпании — назовём их «Альфа» и «Омега». Обе планируют выпустить блокбастеры и выбирают между двумя датами: октябрь или декабрь. Каждая компания принимает решение независимо, не зная выбора конкурента.

Если обе выберут один месяц, им придётся делить аудиторию, и каждая заработает меньше. Если разойдутся по разным месяцам — обе получат максимум. Но есть нюанс: декабрь традиционно более прибыльный из-за праздничного сезона.

Такая ситуация называется игрой с одновременными ходами — её участники действуют одновременно, не имея информации о решениях друг друга. Для анализа подобных игр используется стратегическая форма, которая включает три элемента: список игроков, набор доступных стратегий для каждого и выигрыши при любой комбинации стратегий.

Выигрыши удобно представлять в виде платёжной матрицы. Для нашего примера она может выглядеть так:

Числа в скобках — прибыль в миллионах долларов: первое число для «Альфы», второе для «Омеги». Видно, что обеим выгодно разойтись, но при этом каждая предпочла бы занять декабрь. Возникает стратегическая напряжённость: как договориться без явной договорённости?

Платёжная матрица чрезвычайно полезна для анализа. Она позволяет увидеть структуру игры целиком и сравнить результаты всех сочетаний стратегий. Но чтобы понять, какой исход может оказаться устойчивым, понадобится ещё одно понятие.

Равновесие Нэша

Если фон Нейман заложил фундамент теории игр, то Джон Нэш расширил её на игры, в которых интересы участников не обязательно прямо противоположны. Его жизнь легла в основу книги Сильвии Назар «Игры разума» и одноимённого фильма.

Нэш учился в Принстонском университете и уже в молодости прославился необычным способом рассуждать о задачах. В 21 год он написал короткую диссертацию, идеи которой стали одной из основ современной теории игр.

Нэш предложил универсальное понятие равновесия для игр, где выигрыш одного участника не обязательно равен проигрышу другого.

Что же такое равновесие Нэша? Это набор стратегий — по одной для каждого игрока — при котором никто не может улучшить свой результат, в одностороннем порядке изменив свою стратегию. Иными словами, в равновесии каждый игрок делает лучшее, что может, с учётом действий остальных.

Гениальность этой концепции в том, что она описывает устойчивое состояние системы. Если игроки находятся в равновесии Нэша, никому не выгодно менять только собственную стратегию, пока остальные сохраняют свои решения. Важно: устойчивый исход не обязан быть самым выгодным для всех участников.

Дилемма заключённых

Самый знаменитый пример в теории игр — дилемма заключённых. Представьте: два человека совершили преступление и были задержаны. Полиция разводит их по разным камерам и предлагает каждому сделку.

Правила просты:

• Если оба молчат, каждый получает 1 год тюрьмы (улик недостаточно для серьёзного обвинения).
• Если оба дают показания друг против друга, каждый получает 3 года.
• Если один молчит, а другой даёт показания, молчун получает 10 лет, а предатель выходит на свободу.

Составим платёжную матрицу (числа означают годы заключения, поэтому чем меньше — тем лучше):

Как бы вы поступили? На первый взгляд, очевидно: если оба молчат, каждый получает всего год. Идеальная ситуация «выигрыш-выигрыш» (win-win)!

Но давайте рассуждать как рационально мыслящий заключённый. Я не знаю, что сделает мой сообщник. Рассмотрю оба варианта.

Если он молчит: мне лучше предать (выйду на свободу вместо года тюрьмы).
Если он предаёт: мне тоже лучше предать (3 года вместо 10).

Получается, что независимо от действий сообщника, мне выгоднее предать. Стратегия «предать» доминирует. И мой сообщник, будучи таким же рациональным, придёт к тому же выводу.

Результат? Оба предают, оба получают по 3 года. Это и есть равновесие Нэша в дилемме заключённых. Ни один не может улучшить свой результат, изменив стратегию в одиночку: если я вдруг замолчу, а он продолжит предавать, я получу 10 лет вместо 3.

Здесь кроется глубокий парадокс: индивидуально рациональное поведение приводит к коллективно иррациональному исходу. Если бы оба молчали, было бы лучше каждому. Но логика самосохранения толкает к предательству.

Дилемма заключённых — не абстрактная головоломка. Она описывает множество реальных ситуаций: гонку вооружений между странами, ценовые войны между компаниями, чрезмерную добычу природных ресурсов. В каждом случае индивидуальная рациональность ведёт к общему проигрышу.

Эффективность по Парето

Итальянский экономист Вильфредо Парето предложил элегантный критерий для оценки исходов игр. Ситуация называется Парето-эффективной, если невозможно улучшить положение одного участника, не ухудшив положение другого. Иными словами, это состояние, в котором все возможности взаимовыгодного улучшения уже исчерпаны.

Важнейший вопрос теории игр: всегда ли равновесие Нэша оказывается эффективным по Парето? Ответ — нет, и это одно из самых тревожных открытий дисциплины.

Вернёмся к дилемме заключённых. Равновесие Нэша здесь — взаимное предательство с исходом (3 года, 3 года). Но существует альтернатива: взаимное молчание с исходом (1 год, 1 год). При переходе от предательства к молчанию оба игрока выигрывают — значит, равновесие Нэша в этой игре не является Парето-эффективным. Именно этот разрыв между индивидуальной рациональностью и коллективным благом и делает ситуацию «дилеммой».

Рассмотрим ещё один пример, похожий на дилемму заключённых, — упрощённую модель работы двух беспроводных передатчиков (роутеров).

Пусть оба роутера используют один канал и независимо выбирают высокую или низкую мощность. В нашей учебной модели высокая мощность усиливает помехи, поэтому одновременный выбор высокой мощности уменьшает общую скорость.

Числа в матрице показывают условную скорость передачи данных. В рамках этой модели высокая мощность выгодна каждому устройству по отдельности, но когда её выбирают оба, итог оказывается хуже, чем при согласованном выборе низкой мощности.

Получаем тот же разрыв: устойчивое индивидуальное решение может быть неэффективным по Парето. Это именно модель, а не универсальное описание любой реальной Wi‑Fi-сети: в настоящих сетях результат зависит от протоколов, оборудования, расстояния и множества других факторов.

Если устройства управляются одной системой, их параметры можно согласовать. В терминах теории игр внешний механизм координации меняет правила взаимодействия и помогает участникам избежать взаимно невыгодного исхода.

Битва полов

До сих пор мы рассматривали игры с единственным равновесием Нэша. Но что происходит, когда таких равновесий несколько? Классический пример — «Битва полов» — демонстрирует совершенно иной тип стратегической проблемы.

Представьте: Алиса и Боб — молодая пара, планирующая вечер. За завтраком они решают провести время вместе, но расходятся в предпочтениях: Алиса хочет пойти на танцы, Боб — на футбол. Они договариваются созвониться днём и определиться. Но — вот незадача — на телефонной станции происходит сбой. Каждый должен принять решение куда идти, не зная выбора другого.

Главное для обоих — быть вместе. Провести вечер порознь — худший исход для каждого.

Числа здесь отражают «счастье» участников. Алиса будет счастлива пойти на танцы (выигрыш 10), а футбол вызывает у неё куда меньше положительных эмоций (выигрыш 5). Боб — наоборот. Если они разойдутся (например, Боб уйдёт на футбол, а Алиса — танцевать одна), оба получают 0.

Логика простая: главная ценность этого вечера для обоих — не само мероприятие, а то, что они проведут время вместе. Танцы без Боба для Алисы — это просто танцы, без того смысла, ради которого она вообще хотела куда-то пойти. То же самое с Бобом на футболе без Алисы. Они оба заранее договорились провести вечер вместе — это была общая цель.

Если эта цель провалилась, не важно, где именно ты оказался: удовольствия нет, вечер потрачен впустую, ты сидишь и смотришь новостную ленту или короткие видео в телефоне.

Проверим равновесия Нэша:

«Танцевальное» равновесие (оба идут на танцы): Алиса получает 10, Боб — 5. Может ли кто-то улучшить позицию, изменив стратегию в одиночку? Если Алиса уйдёт на футбол, когда Боб пойдёт на танцы — она получит 0 вместо 10. Если Боб уйдёт на футбол, оставив Алису на танцах — получит 0 вместо 5. Никто не хочет отклоняться. Это равновесие Нэша.

«Футбольное» равновесие (оба идут на футбол): Алиса получает 5, Боб — 10. Аналогичная логика: никто не выигрывает от одностороннего отклонения. Тоже равновесие Нэша.

Оба равновесия, кстати, Парето-эффективны: чтобы сделать лучше Алисе (перейти от футбола к танцам), нужно сделать хуже Бобу, и наоборот.

Проблема координации

Вот в чём драма «Битвы полов»: концепция равновесия Нэша сама по себе не говорит, какое из двух равновесий реализуется. Оба стабильны, оба самосогласованы — но они несовместимы друг с другом.

Что произойдёт на практике? Вполне вероятно — координационная неудача. Алиса решит: «Боб знает, как я люблю танцы, он уступит» — и пойдёт танцевать. Боб подумает: «Алиса знает, как я люблю футбол, она уступит» — и пойдёт на матч. Результат? Оба проводят вечер порознь, оба несчастны. Теоретик игр назвал бы это не равновесным исходом — ни одно из возможных равновесий Нэша не реализовалось.

Американский экономист Томас Шеллинг, получивший Нобелевскую премию в 2005 году, посвятил карьеру изучению именно таких ситуаций. Он показал, что в играх с множеством равновесий решающую роль играют фокальные точки — исходы, которые по каким-то причинам кажутся «естественными» или «очевидными» обоим игрокам.

Например, если Алиса и Боб в прошлом всегда уступали друг другу по очереди, или если один из них утром сказал «мне сегодня особенно важно…», это создаёт фокальную точку. Культурные нормы тоже играют роль: в традиционном обществе могут ожидать, что один партнёр уступит другому.

«Битва полов» — не просто академическая абстракция. Она описывает множество реальных ситуаций: выбор технического стандарта конкурирующими компаниями, координацию международной политики, даже решение о том, по какой стороне дороги ездить. Во всех этих случаях есть несколько устойчивых исходов, и главная трудность — не найти равновесие, а скоординироваться на одном из них.

Ястребы и голуби

Теория игр нашла неожиданное применение в биологии. Британский биолог Джон Мейнард Смит адаптировал её для объяснения эволюции поведения животных.

Представьте популяцию животных, конкурирующих за ресурсы — территорию, пищу, партнёров. Каждая особь может следовать одной из двух стратегий:

Ястреб — всегда сражается. Если встречает другого ястреба, бьётся до победы или поражения, рискуя получить серьёзные травмы. Если встречает голубя — забирает ресурс без боя.

Голубь — избегает конфликта. При встрече с ястребом отступает. При встрече с другим голубем — делит ресурс поровну после ритуальной демонстрации.

Предположим, ресурс стоит 50 единиц, а травма в бою обходится в 100 единиц. Вот платёжная матрица:

Когда два ястреба дерутся, каждый с вероятностью 50% побеждает (получая 50) или проигрывает (теряя 100 на лечение). Средний выигрыш: 0,5 × 50 + 0,5 × (-100) = -25.

Какая стратегия лучше? Зависит от состава популяции.

Если все — голуби, появившийся ястреб будет процветать: он забирает весь ресурс без боя.
Если все — ястребы, появившийся голубь тоже выигрывает: он избегает травм, довольствуясь нулём вместо средних -25.

Эволюционное равновесие достигается при смешанной популяции, где обе стратегии приносят одинаковый средний выигрыш. Это объясняет, почему в природе мы наблюдаем и агрессивное, и уступчивое поведение — эволюция поддерживает баланс.

Модель «ястребов и голубей» применяют для анализа конфликтов в человеческом обществе: от уличных разборок до международных отношений. Она показывает, что чистая агрессия невыгодна в долгосрочной перспективе — слишком велики издержки конфликтов.

Последовательные игры и задания ЕГЭ

До сих пор мы разбирали ситуации, в которых участники выбирают действие одновременно. Теперь представим другую игру: соперники ходят по очереди, видят все предыдущие решения и заранее знают правила.

Пусть на столе лежит куча камней. За ход можно добавить один или два камня, а выигрывает тот, кто первым получит не менее семи. Мы начинаем не с формул, а с простого вопроса: что бы мы сделали на месте игрока?

Текущее количество камней задаёт позицию. Из неё можно сделать несколько допустимых ходов. А стратегия — это план на всю игру: он должен подсказывать наш ответ после каждого возможного действия соперника.

Если сейчас наш ход, сначала проверим, можем ли мы победить сразу. Если нет, подумаем на один шаг дальше: куда ходить, чтобы соперник оказался в неудобной позиции и не смог разрушить наш план?

Так появляются выигрышные и проигрышные позиции. Выигрышной считается позиция, из которой существует хотя бы один ход, оставляющий сопернику проигрышную. В проигрышной позиции любой ход помогает сопернику.

В нашем примере позиции 5 и 6 выигрышные: достаточно добрать камни до 7. Позиция 4 проигрышная, потому что оба хода передают сопернику 5 или 6 камней, откуда он сразу завершит игру.

Теперь отступим ещё на шаг. Из позиций 2 и 3 можно оставить сопернику 4 камня, поэтому они выигрышные. Позиция 1, наоборот, проигрышная: оба хода ведут в выигрышные для соперника позиции 2 и 3.

Мы начали с конца, потому что там последствия каждого хода уже известны. Затем шаг за шагом вернулись к началу и для каждой позиции ответили на два вопроса: есть ли спасительный ход и что произойдёт после любого ответа соперника.

Важно не путать хороший первый ход с выигрышной стратегией. Первый ход — только начало плана. Настоящая стратегия должна предусматривать все допустимые ответы соперника и после каждого из них сохранять возможность победить.

Именно такие последовательные игры встречаются в заданиях 19–21 ЕГЭ. Но их основа уже нам знакома: мысленно прожить игру за обоих участников, начать с очевидных финалов и постепенно восстановить надёжный план действий.

Итоги

Теория игр изучает ситуации, в которых результат зависит от решений нескольких участников. За разными примерами скрывается один общий навык: видеть возможные ответы других игроков и строить стратегию с их учётом.

Стратегическое мышление. Мы выбираем действие с учётом решений других участников. Конкурс красоты Кейнса показал следующий уровень: иногда приходится предугадывать не чужой выбор, а чужие ожидания.

Игра с нулевой суммой и минимакс. В игре с нулевой суммой выигрыш одного равен проигрышу другого. Минимакс предлагает оценивать не лучший возможный исход, а результат, который стратегия гарантирует при разумной игре соперника.

Платёжная матрица. Она записывает возможные сочетания стратегий и выигрыши участников. По матрице удобно сравнивать решения в играх, где игроки делают выбор одновременно и не видят ход друг друга.

Равновесие Нэша. Это набор стратегий, от которого никому не выгодно отклоняться в одиночку. Равновесие описывает устойчивость исхода, но не обещает, что этот исход будет лучшим для всех.

Дилемма заключённых. Личная выгода подталкивает каждого игрока к выбору, который вместе приводит их к худшему результату. Модель показывает, почему сотрудничество может разрушиться даже между рациональными участниками.

Парето-эффективность. Исход эффективен по Парето, если нельзя улучшить положение одного участника, не ухудшив положение другого. Поэтому устойчивость по Нэшу и общая эффективность отвечают на разные вопросы.

Координация и фокальные точки. В «Битве полов» есть несколько устойчивых исходов, поэтому мало найти равновесие — нужно выбрать одно и то же. Фокальная точка помогает участникам угадать общий вариант без прямого соглашения.

Ястребы и голуби. Успех стратегии зависит от того, насколько часто она встречается в популяции. Агрессия выгодна среди уступчивых соперников, но при избытке агрессоров растут издержки конфликтов и появляется место для мирной стратегии.

Последовательные игры. Здесь участники ходят по очереди, поэтому важны не отдельные действия, а полный план ответов. Мы анализируем игру с конца и ищем ходы, после которых соперник при любом выборе не сможет избежать поражения.

В следующей статье перейдём к ручному решению задач с одной кучей и разберём, как отмечать выигрышные и проигрышные позиции.